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`!Deviatoren`! oder `!deviatorische Tensoren`! (`F33f`_`[lateinisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lateinische_Sprache]`_`f `*Abweichler`*) sind in der `F33f`_`[Kontinuumsmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuumsmechanik]`_`f `F33f`_`[Tensoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tensor]`_`f zweiter Stufe, deren `F33f`_`[Spur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spur_(Mathematik)]`_`f verschwindet. Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe Abbildung rechts.

Von besonderer Bedeutung sind die `F33f`_`[Verzerrungstensoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verzerrungstensor]`_`f, die die `F33f`_`[Dehnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dehnung]`_`f, `F33f`_`[Stauchung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stauchung]`_`f und `F33f`_`[Scherung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Scherung_(Mechanik)]`_`f von materiellen Linien und Flächen in einem Körper bei einer Deformation beschreiben. Die Verzerrungstensoren besitzen eine „Spur“ genannte Kennziffer (`F33f`_`[Hauptinvariante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptinvariante]`_`f), die ein Maß für die `F33f`_`[Volumendehnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volumendehnung]`_`f am Ort ihres Auftretens ist und zwar in der Art, dass sie verschwindet, wenn keine Volumendehnung vorliegt. Der spurfreie Anteil des Verzerrungstensors, sein Deviator, beschreibt (in der linearisierten Theorie) also den volumenerhaltenden, gestaltändernden Anteil der Deformation eines Körpers. Ebenso beschreibt in der `F33f`_`[Strömungsmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Strömungsmechanik]`_`f der deviatorische Anteil des `F33f`_`[Geschwindigkeitsgradienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsgradient]`_`f den quellenfreien Anteil der Strömung.

Ein anderes Anwendungsgebiet von Deviatoren liegt in der `F33f`_`[Plastizitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Plastizitätstheorie]`_`f. Bei vielen Metallen beobachtet man, dass sie unter allseitigem, hydrostatischem Druck nicht plastisch fließen oder, anders ausgedrückt, das plastische Fließen nur von den vom hydrostatischen Anteil befreiten Spannungen getrieben wird. Der deviatorische Anteil eines Tensors ist gerade der Teil, der übrig bleibt, wenn sein `F33f`_`[hydrostatischer Anteil`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kugeltensor]`_`f abgezogen wird.

Mit Deviatoren kann also das Materialverhalten unter volumenerhaltenden, gestaltändernden Bedingungen modelliert werden.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Zerlegung in Deviator und Kugelanteil`#zerlegung-in-deviator-und-kugelanteil]`_`f

• `F0af`_`[Flächen im Eigenwertraum`#fl-chen-im-eigenwertraum]`_`f

• `F0af`_`[Invarianten von Deviatoren`#invarianten-von-deviatoren]`_`f

• `F0af`_`[Anwendungen`#anwendungen]`_`f

• `F0af`_`[Deviatoren und Volumendehnung`#deviatoren-und-volumendehnung]`_`f

• `F0af`_`[Deviator des Geschwindigkeitsgradienten`#deviator-des-geschwindigkeitsgradienten]`_`f

• `F0af`_`[Deviatorische Verzerrungsgeschwindigkeit`#deviatorische-verzerrungsgeschwindigkeit]`_`f

• `F0af`_`[Harmonie der Bilinearform`#harmonie-der-bilinearform]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Fußnoten`#fu-noten]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

-─

>>Definition

Deviatoren sind Tensoren zweiter Stufe T {\\displaystyle \\mathbf {T} } , deren Spur „Sp“ verschwindet:

T : S p ( T ) = 0 {\\displaystyle \\mathbf {T} :\\quad \\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )=0} .

Der deviatorische Anteil wird mit einem hochgestellten „D“ oder „dev“ bezeichnet:

d e v ( T ) = T D = T d e v := T − − S p ( T ) S p ( 1 ) 1 = T − − S p ( T ) 3 1 {\\displaystyle \\mathrm {dev} (\\mathbf {T} )=\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}=\\mathbf {T} ^{\\mathrm {dev} }:=\\mathbf {T} -{\\frac {\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )}{\\mathrm {Sp} (\\mathbf {1} )}}\\mathbf {1} =\\mathbf {T} -{\\frac {\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )}{3}}\\mathbf {1} } .

Die Spur des `F33f`_`[Einheitstensors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einheitstensor]`_`f 1 {\\displaystyle \\mathbf {1} } ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.

Der Subtrahend

S p ( T ) 3 1 =: T K {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )}{3}}\\mathbf {1} =:\\mathbf {T} ^{\\mathrm {K} }}

ist der `F33f`_`[Kugelanteil`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kugeltensor]`_`f des Tensors T {\\displaystyle \\mathbf {T} } .

>>Eigenschaften

>>>Zerlegung in Deviator und Kugelanteil

Die in der Definition angedeutete Zerlegung in Deviator und Kugelanteil ist in der `F33f`_`[Festigkeitslehre`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Festigkeitslehre]`_`f und `F33f`_`[Fluidmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fluidmechanik]`_`f häufig anzutreffen, insbesondere beim `F33f`_`[Spannungstensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spannungstensor]`_`f:`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

σ σ = σ σ m 1 + σ σ D , σ σ m = S p ( σ σ ) 3 {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\sigma }}=\\sigma _{m}\\mathbf {1} +{\\boldsymbol {\\sigma }}^{\\rm {D}},\\quad \\sigma _{m}={\\frac {\\mathrm {Sp} ({\\boldsymbol {\\sigma }})}{3}}}

Der Kugelanteil `*σm`*`!1`! modelliert den sogenannten hydrostatischen `F33f`_`[Spannungszustand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spannungszustand]`_`f, dem Materialien ohne Schaden zu nehmen in hohem Maß widerstehen können. Nach der `F33f`_`[Gestaltänderungshypothese`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gestaltänderungshypothese]`_`f wird die Schädigung eines isotropen Materials vom `F33f`_`[Spannungsdeviator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spannungsdeviator]`_`f getrieben, dessen Betrag proportional zur von-Mises-`F33f`_`[Vergleichsspannung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vergleichsspannung]`_`f ist.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

Deviatoren und Kugelanteile sind `F33f`_`[orthogonal`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthogonalität]`_`f zueinander:

k 1 : : σ σ D = k 1 : : ( σ σ − − σ σ m 1 ) = k S p ( σ σ ) − − 3 k σ σ m = 0 ∀ ∀ k ∈ ∈ R {\\displaystyle k\\mathbf {1} \\colon {\\boldsymbol {\\sigma }}^{\\rm {D}}=k\\mathbf {1} \\colon \\left({\\boldsymbol {\\sigma }}-\\sigma _{m}\\mathbf {1} \\right)=k\\mathrm {Sp} ({\\boldsymbol {\\sigma }})-3k\\sigma _{m}=0\\quad \\forall k\\in \\mathbb {R} }

Der Doppelpunkt „:“ bildet das `F33f`_`[Frobenius-Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frobenius-Skalarprodukt]`_`f zweier Tensoren `!A`! und `!B`! gemäß `!A`! : `!B`! := Sp(`!A`! T · `!B`!) mittels der `F33f`_`[Spur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spur_(Mathematik)]`_`f und daher `!1`! : `!σ`! = Sp(`!σ`!) sowie `!1`! : `!1`! = 3. Siehe auch `F33f`_`[#Invarianten von Deviatoren`#invarianten-von-deviatoren]`_`f.

Statt der mittleren Normalspannung `*σm`* wird in der Fluidmechanik der `F33f`_`[Druck`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Druck_(Physik)]`_`f `*p = -σm`* verwendet, sodass

σ σ = − − p 1 + σ σ D {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\sigma }}=-p\\mathbf {1} +{\\boldsymbol {\\sigma }}^{\\rm {D}}}

entsteht.

>>>Flächen im Eigenwertraum

Betrachtet werden `F33f`_`[symmetrische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Symmetrische_Matrix]`_`f Tensoren zweiter Stufe. Diese haben drei `*reelle`* `F33f`_`[Eigenwerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwertproblem]`_`f λ λ 1 , 2 , 3 {\\displaystyle \\lambda _{1,2,3}} und stellen im Eigenwertraum (der Raum, in dem die Eigenwerte auf den drei Koordinatenachsen aufgetragen werden) einen Punkt dar.

Mit der Gleichung

∥ ∥ T D ∥ ∥ = C {\\displaystyle \\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel =C}

wird mit einem Flächenparameter C {\\displaystyle C} eine `F33f`_`[Fläche`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fläche_(Mathematik)]`_`f in diesem drei-dimensionalen Eigenwertraum definiert, siehe Abbildung rechts. Diese Fläche hat die Form eines (unendlich langen) Zylinders, der Parallel zur `*hydrostatischen Achse`*

λ λ 1 = λ λ 2 = λ λ 3 {\\displaystyle \\lambda _{1}=\\lambda _{2}=\\lambda _{3}}

ausgerichtet ist. Wegen

S p ( T ) = λ λ 1 + λ λ 2 + λ λ 3 {\\displaystyle \\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )=\\lambda _{1}+\\lambda _{2}+\\lambda _{3}}

liegen alle Deviatoren in der `*deviatorischen Ebene`*

λ λ 1 + λ λ 2 + λ λ 3 = 0 {\\displaystyle \\lambda _{1}+\\lambda _{2}+\\lambda _{3}=0} ,

deren `F33f`_`[Normale`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normalenvektor]`_`f die hydrostatische Achse ist. Die Normalen N {\\displaystyle \\mathbf {N} } an die Fläche ∥ ∥ T D ∥ ∥ = C {\\displaystyle \\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel =C} liegen in Ebenen, die zur deviatorischen Ebene parallel sind, weswegen die Normalen ebenfalls deviatorisch sind. Das berechnet sich auch aus der Ableitung`:cite-ref-frechet-3-0[`F5bf`_`[3`#cite-note-frechet-3]`_`f]

N = d d T ∥ ∥ T D ∥ ∥ = T D ∥ ∥ T D ∥ ∥ {\\displaystyle \\mathbf {N} ={\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} \\mathbf {T} }}\\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel ={\\frac {\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}}{\\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel }}} ,

weil die Normalen genau dieser Ableitung entsprechen.

Eine Fläche dieses Typs ist die Fließortfläche in der J2-`F33f`_`[Plastizitätstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Plastizitätstheorie]`_`f`:cite-ref-plast-4-0[`F5bf`_`[4`#cite-note-plast-4]`_`f]

σ σ v := 3 2 ∥ ∥ σ σ D ∥ ∥ = k {\\displaystyle \\sigma _{v}:={\\sqrt {\\frac {3}{2}}}\\parallel {\\boldsymbol {\\sigma }}^{\\rm {D}}\\parallel =k} .

Der Flächenparameter k {\\displaystyle k} ist die `*isotrope Verfestigung`*, σ σ {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\sigma }}} der (symmetrische) `F33f`_`[Spannungstensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spannungstensor]`_`f und σ σ v {\\displaystyle \\sigma _{v}} die von Mises `F33f`_`[Vergleichsspannung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vergleichsspannung]`_`f. Im einachsigen Fall σ σ = σ σ e ^ ^ 1 ⊗ ⊗ e ^ ^ 1 {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\sigma }}=\\sigma {\\hat {e}}_{1}\\otimes {\\hat {e}}_{1}} ist

σ σ v = 3 2 ∥ ∥ σ σ D ∥ ∥ = | σ σ | {\\displaystyle \\sigma _{v}={\\sqrt {\\frac {3}{2}}}\\parallel {\\boldsymbol {\\sigma }}^{\\rm {D}}\\parallel =|\\sigma |}

und k {\\displaystyle k} modelliert die `F33f`_`[Fließspannung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fließspannung]`_`f.

Die hydrostatische Achse wird vom Einheitstensor und den `F33f`_`[Kugeltensoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kugeltensor]`_`f gebildet.

>>>Invarianten von Deviatoren

Die drei `F33f`_`[Hauptinvarianten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptinvariante]`_`f I 1 , 2 , 3 {\\displaystyle \\mathrm {I} _{1,2,3}} eines Deviators lauten

I 1 ( T D ) := 0 I 2 ( T D ) = − − 1 2 S p ( T D ⋅ ⋅ T D ) = I 1 ( T ) 2 6 − − S p ( T 2 ) 2 I 3 ( T D ) = 1 3 Sp ⁡ ⁡ ( T D ⋅ ⋅ T D ⋅ ⋅ T D ) = 2 I 1 ( T ) 3 27 − − I 1 ( T ) I 2 ( T ) 3 + I 3 ( T ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}):=&0\\\\\\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} ^{\\rm {D}})=&-{\\frac {1}{2}}\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\cdot \\mathbf {T} ^{\\rm {D}})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&{\\frac {\\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} )^{2}}{6}}-{\\frac {\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} ^{2})}{2}}\\\\\\mathrm {I} _{3}(\\mathbf {T} ^{\\rm {D}})=&{\\frac {1}{3}}\\operatorname {Sp} (\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\cdot \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\cdot \\mathbf {T} ^{\\rm {D}})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&{\\frac {2\\mathrm {I} _{1}(\\mathbf {T} )^{3}}{27}}-{\\frac {I_{1}(\\mathbf {T} )I_{2}(\\mathbf {T} )}{3}}+I_{3}(\\mathbf {T} )\\end{aligned}}} .

Der Operator det {\\displaystyle \\operatorname {det} } gibt die `F33f`_`[Determinante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Determinante]`_`f seines Argumentes. Der Betrag oder `F33f`_`[Frobeniusnorm`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frobeniusnorm]`_`f eines Deviators berechnet sich mit dem `F33f`_`[Frobenius-Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frobenius-Skalarprodukt]`_`f „:“ zu

∥ ∥ T D ∥ ∥ = T D : T D = T : T − − 1 3 S p ( T ) 2 {\\displaystyle \\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel ={\\sqrt {\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}:\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}}}={\\sqrt {\\mathbf {T} :\\mathbf {T} -{\\frac {1}{3}}\\mathrm {Sp} (\\mathbf {T} )^{2}}}} ,

woraus

∥ ∥ T ∥ ∥ 2 =∥ ∥ T D ∥ ∥ 2 + ‖ Sp ( T ) 3 1 ‖ 2 {\\displaystyle \\parallel \\mathbf {T} \\parallel ^{2}=\\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel ^{2}+{\\begin{Vmatrix}{\\frac {{\\text{Sp}}(\\mathbf {T} )}{3}}\\mathbf {1} \\end{Vmatrix}}^{2}}

folgt. Drei Strecken mit den Längen der Beträge eines Tensors, seines Deviators und seines Kugelanteils bilden also ein `F33f`_`[rechtwinkliges Dreieck`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rechtwinkliges_Dreieck]`_`f.

Bei einem symmetrischen Tensor T = T T {\\displaystyle \\mathbf {T} =\\mathbf {T} ^{\\mathrm {T} }} ist auch dessen Deviator symmetrisch und für dessen Frobeniusnorm ergibt sich:

∥ ∥ T D ∥ ∥ := T D : T D = − − 2 I 2 ( T D ) {\\displaystyle \\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel :={\\sqrt {\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}:\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}}}={\\sqrt {-2\\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} ^{\\rm {D}})}}} .

Wenn der Tensor die Darstellung

T = ∑ ∑ i , j = 1 3 T i j e ^ ^ i ⊗ ⊗ e ^ ^ j {\\displaystyle \\mathbf {T} =\\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\\hat {e}}_{i}\\otimes {\\hat {e}}_{j}}

mit Komponenten T i j ∈ ∈ R {\\displaystyle T_{ij}\\in \\mathbb {R} } bezüglich der `F33f`_`[Standardbasis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Standardbasis]`_`f e ^ ^ 1 , 2 , 3 {\\displaystyle {\\hat {e}}_{1,2,3}} des `F33f`_`[euklidischen Vektorraums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Prähilbertraum]`_`f V 3 {\\displaystyle \\mathbb {V} ^{3}} besitzt, dann berechnen sich

T D = ( 2 3 T 11 − − 1 3 T 22 − − 1 3 T 33 T 12 T 13 T 21 2 3 T 22 − − 1 3 T 11 − − 1 3 T 33 T 23 T 31 T 32 2 3 T 33 − − 1 3 T 11 − − 1 3 T 22 ) I 2 ( T D ) = 1 3 ( T 11 T 22 + T 11 T 33 + T 22 T 33 − − T 11 2 − − T 22 2 − − T 33 2 ) − − T 12 T 21 − − T 13 T 31 − − T 23 T 32 det ⁡ ⁡ ( T D ) = 1 27 [ 12 T 11 T 22 T 33 + 2 ( T 11 3 + T 22 3 + T 33 3 ) − − 3 T 11 2 ( T 22 + T 33 ) − − 3 T 22 2 ( T 11 + T 33 ) − − 3 T 33 2 ( T 11 + T 22 ) ] − − 1 3 [ ( 2 T 11 − − T 22 − − T 33 ) T 23 T 32 + ( 2 T 33 − − T 11 − − T 22 ) T 12 T 21 + ( 2 T 22 − − T 11 − − T 33 ) T 13 T 31 ] + T 13 T 32 T 21 + T 12 T 23 T 31 ∥ ∥ T D ∥ ∥ = 2 3 ( T 11 2 + T 22 2 + T 33 2 − − T 11 T 22 − − T 11 T 33 − − T 22 T 33 ) + T 12 2 + T 21 2 + T 13 2 + T 31 2 + T 23 2 + T 32 2 {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\mathbf {T} ^{\\rm {D}}=&{\\begin{pmatrix}{\\frac {2}{3}}T_{11}-{\\frac {1}{3}}T_{22}-{\\frac {1}{3}}T_{33}&T_{12}&T_{13}\\\\T_{21}&{\\frac {2}{3}}T_{22}-{\\frac {1}{3}}T_{11}-{\\frac {1}{3}}T_{33}&T_{23}\\\\T_{31}&T_{32}&{\\frac {2}{3}}T_{33}-{\\frac {1}{3}}T_{11}-{\\frac {1}{3}}T_{22}\\end{pmatrix}}\\\\\\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} ^{\\rm {D}})=&{\\frac {1}{3}}(T_{11}T_{22}+T_{11}T_{33}+T_{22}T_{33}-T_{11}^{2}-T_{22}^{2}-T_{33}^{2})-T_{12}T_{21}-T_{13}T_{31}-T_{23}T_{32}\\\\\\operatorname {det} (\\mathbf {T} ^{\\rm {D}})=&{\\frac {1}{27}}[12T_{11}T_{22}T_{33}+2(T_{11}^{3}+T_{22}^{3}+T_{33}^{3})-3T_{11}^{2}(T_{22}+T_{33})-3T_{22}^{2}(T_{11}+T_{33})-3T_{33}^{2}(T_{11}+T_{22})]\\\\&-{\\frac {1}{3}}[(2T_{11}-T_{22}-T_{33})T_{23}T_{32}+(2T_{33}-T_{11}-T_{22})T_{12}T_{21}+(2T_{22}-T_{11}-T_{33})T_{13}T_{31}]\\\\&+T_{13}T_{32}T_{21}+T_{12}T_{23}T_{31}\\\\\\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel =&{\\sqrt {{\\frac {2}{3}}(T_{11}^{2}+T_{22}^{2}+T_{33}^{2}-T_{11}T_{22}-T_{11}T_{33}-T_{22}T_{33})+T_{12}^{2}+T_{21}^{2}+T_{13}^{2}+T_{31}^{2}+T_{23}^{2}+T_{32}^{2}}}\\end{aligned}}}

>>Anwendungen

>>>Deviatoren und Volumendehnung

Bei der Streckung eines Körpers der Länge L {\\displaystyle L} auf die Länge l {\\displaystyle l} ist die `F33f`_`[Dehnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dehnung]`_`f ε ε {\\displaystyle \\varepsilon } als das Längenverhältnis

ε ε = l − − L L ↔ ↔ l = L ( 1 + ε ε ) {\\displaystyle \\varepsilon ={\\frac {l-L}{L}}\\quad \\leftrightarrow \\quad l=L(1+\\varepsilon )} .

definiert. Bei der Verformung eines Quaders der Länge L {\\displaystyle L} , Breite B {\\displaystyle B} und Höhe H {\\displaystyle H} in x-, y- und z-Richtung (und daher Volumen V = L B H {\\displaystyle V=LBH} ) ergeben sich analog Dehnungen ε ε x , ε ε y {\\displaystyle \\varepsilon _{x},\\varepsilon _{y}} und ε ε z {\\displaystyle \\varepsilon _{z}} in x-, y- und z-Richtung, siehe Abbildung rechts. Das Volumen des Quaders nach der Deformation berechnet sich dann aus

v = L ( 1 + ε ε x ) B ( 1 + ε ε y ) H ( 1 + ε ε z ) = L B H + L B H ε ε x + L B H ε ε y + L B H ε ε z + O ( ε ε 2 ) = V ( 1 + ε ε x + ε ε y + ε ε z ) + O ( ε ε 2 ) {\\displaystyle {\\begin{array}{rcl}v&=&L(1+\\varepsilon _{x})B(1+\\varepsilon _{y})H(1+\\varepsilon _{z})\\\\&=&LBH+LBH\\varepsilon _{x}+LBH\\varepsilon _{y}+LBH\\varepsilon _{z}+{\\mathcal {O}}(\\varepsilon ^{2})\\\\&=&V(1+\\varepsilon _{x}+\\varepsilon _{y}+\\varepsilon _{z})+{\\mathcal {O}}(\\varepsilon ^{2})\\end{array}}}

Das `F33f`_`[Landau-Symbol`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Landau-Symbole]`_`f O ( ε ε 2 ) {\\displaystyle {\\mathcal {O}}(\\varepsilon ^{2})} steht für Terme, die mindestens quadratisch in den Dehnungen sind und die bei kleinen Dehnungen vernachlässigt werden können. Die Summe der Dehnungen in x-, y- und z-Richtung ist die Spur S p {\\displaystyle \\mathrm {Sp} } des linearisierten Verzerrungstensors

ε ε = ( ε ε x ε ε x y ε ε x z ε ε x y ε ε y ε ε y z ε ε x y ε ε y z ε ε z ) → → S p ( ε ε ) = ε ε x + ε ε y + ε ε z {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\varepsilon }}={\\begin{pmatrix}\\varepsilon _{x}&\\varepsilon _{xy}&\\varepsilon _{xz}\\\\\\varepsilon _{xy}&\\varepsilon _{y}&\\varepsilon _{yz}\\\\\\varepsilon _{xy}&\\varepsilon _{yz}&\\varepsilon _{z}\\end{pmatrix}}\\rightarrow \\mathrm {Sp} ({\\boldsymbol {\\varepsilon }})=\\varepsilon _{x}+\\varepsilon _{y}+\\varepsilon _{z}}

und deshalb ergibt sich aus v = V ( 1 + S p ( ε ε ) ) {\\displaystyle v=V(1+\\mathrm {Sp} ({\\boldsymbol {\\varepsilon }}))} die `F33f`_`[Volumendehnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volumendehnung]`_`f:

v − − V V = S p ( ε ε ) {\\displaystyle {\\frac {v-V}{V}}=\\mathrm {Sp} ({\\boldsymbol {\\varepsilon }})} .

Bei großen Verformungen findet sich der Zusammenhang

ln ⁡ ⁡ ( v V ) = S p ( E H ) {\\displaystyle \\ln \\left({\\frac {v}{V}}\\right)=\\mathrm {Sp} (\\mathbf {E} _{H})}

zwischen dem `F33f`_`[natürlichen Logarithmus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Natürlicher_Logarithmus]`_`f des Volumenverhältnisses und der Spur des `F33f`_`[Henky Verzerrungstensors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verzerrungstensor]`_`f.

Wenn die Spuren der Verzerrungstensoren ε ε {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\varepsilon }}} oder E H {\\displaystyle \\mathbf {E} _{H}} bei kleinen bzw. großen Verformungen verschwinden, sie `*deviatorisch`* sind, liegt also keine Volumendehnung am Ort ihres Auftretens vor. Umgekehrt beschreiben die Deviatoren dieser Verzerrungstensoren den volumenerhaltenden, gestaltändernden Teil der Deformation und können somit für die Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen eingesetzt werden.

>>>Deviator des Geschwindigkeitsgradienten

Der `F33f`_`[Geschwindigkeitsgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsgradient]`_`f `!l`! ist der `F33f`_`[Vektorgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorgradient]`_`f des `F33f`_`[Geschwindigkeits`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeit]`_`f­feldes. Eine in der `F33f`_`[Strömungsmechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Strömungsmechanik]`_`f wichtige Eigenschaft des Feldes ist die Quellendichte oder `F33f`_`[Divergenz des Feldes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Divergenz_eines_Vektorfeldes]`_`f, die an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung eines Punktes auseinanderstreben (`F33f`_`[lateinisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Latein]`_`f divergere). Mathematisch lässt sich das als

( d V ) ˙ ˙ = S p ( l ) d V = ( ∇ ∇ ⋅ ⋅ v → → ) d V {\\displaystyle (\\mathrm {d} V{\\dot {)\\;}}=\\mathrm {Sp} (\\mathbf {l} )\\mathrm {d} V=(\\nabla \\cdot {\\vec {v}})\\mathrm {d} V}

schreiben. Darin ist d`*V`* ein von Teilchen eingenommenes (infinitesimal) kleines Volumen, ( d V ) ˙ ˙ {\\displaystyle (\\mathrm {d} V{\\dot {)\\;}}} dessen `F33f`_`[Zeitableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitableitung]`_`f also Expansionsrate und 𝜵 der `F33f`_`[Nabla-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Nabla-Operator]`_`f, dessen (formales) `F33f`_`[Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalarprodukt]`_`f „·“ mit dem Geschwindigkeitsfeld v → → {\\displaystyle {\\vec {v}}} dessen Divergenz ergibt. Wenn der Geschwindigkeitsgradient deviatorisch also spurfrei ist, dann ist das `F33f`_`[Geschwindigkeitsfeld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsfeld]`_`f quellenfrei.

Gleiches gilt für den `*Verzerrungsgeschwindigkeitstensor`* `!d`!, der der `F33f`_`[symmetrische Anteil`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Symmetrische_Matrix]`_`f des Geschwindigkeitsgradienten ist. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor wird in `F33f`_`[Materialmodellen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Materialmodell]`_`f von `F33f`_`[Fluiden`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fluid]`_`f, also Flüssigkeiten und Gasen, eingesetzt. Mit seinem deviatorischen Anteil wird der quellenfreie Anteil der Strömung modelliert, beispielsweise im `F33f`_`[newtonschen Fluid`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Newtonsches_Fluid]`_`f:`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

σ σ = − − p 1 + ζ ζ Sp ⁡ ⁡ ( d ) 1 + 2 μ μ d D {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\sigma }}=-p\\mathbf {1} +\\zeta \\operatorname {Sp} (\\mathbf {d} )\\mathbf {1} +2\\mu \\mathbf {d} ^{\\rm {D}}}

Darin bezeichnet `!σ`! den Cauchy’schen `F33f`_`[Spannungstensor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spannungstensor]`_`f, `*p`* den thermodynamischen, statischen `F33f`_`[Druck`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Druck_(Physik)]`_`f, `*ζ`* die `F33f`_`[Volumenviskosität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volumenviskosität]`_`f und `*μ`* die `F33f`_`[Scherviskosität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Scherviskosität]`_`f. Der zweite und dritte Term modellieren die `F33f`_`[Viskosität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Viskosität]`_`f des Fluids, d. h. die Spannungen, die von der Viskosität des Fluids verursacht sind und die nur im Ungleichgewicht auftreten, also solange das Fluid in Bewegung ist. Der zweite Term steht für allseitige divergenzproportionale `F33f`_`[Normalspannungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normalspannung]`_`f aufgrund von Kompression oder Expansion und der dritte für `F33f`_`[Spannungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spannung_(Mechanik)]`_`f im divergenzfreien Anteil des Strömungsfeldes. Aus diesem Materialmodell leiten sich die `F33f`_`[Navier-Stokes-Gleichungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Navier-Stokes-Gleichungen]`_`f ab.

>>>Deviatorische Verzerrungsgeschwindigkeit

Eine kleine Deformation, bei der die Rate des linearisierten `F33f`_`[Verzerrungstensors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verzerrungstensor]`_`f ε ε {\\displaystyle {\\boldsymbol {\\varepsilon }}} deviatorisch ist, ist volumenerhaltend, weil seine Spur ein Maß für die Kompression am Ort seines Auftretens ist. Dies gilt auch bei großen Deformationen, wenn die `F33f`_`[kovariante Oldroyd Ableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Euklidische_Transformation]`_`f des `F33f`_`[Euler-Almansi Verzerrungstensors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verzerrungstensor]`_`f

e Δ Δ = 1 2 ( l + l T ) mit l = F ˙ ˙ ⋅ ⋅ F − − 1 {\\displaystyle {\\stackrel {\\Delta }{\\mathbf {e} }}={\\frac {1}{2}}(\\mathbf {l} +\\mathbf {l} ^{\\mathrm {T} })\\quad {\\text{mit}}\\quad \\mathbf {l} ={\\dot {\\mathbf {F} }}\\cdot \\mathbf {F} ^{-1}}

deviatorisch ist. Darin ist `!l`! der `F33f`_`[Geschwindigkeitsgradient`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geschwindigkeitsgradient]`_`f. Wenn e Δ Δ {\\displaystyle {\\stackrel {\\Delta }{\\mathbf {e} }}} deviatorisch ist, ist die Deformation volumenerhaltend, denn dann verschwindet wegen

0 = S p ( e Δ Δ ) = S p ( l ) = S p ( F ˙ ˙ ⋅ ⋅ F − − 1 ) =: F T − − 1 : F ˙ ˙ → → d d t d e t ( F ) = d e t ( F ) F T − − 1 : F ˙ ˙ = d e t ( F ) S p ( e Δ Δ ) = 0 {\\displaystyle {\\begin{aligned}0=&\\mathrm {Sp} ({\\stackrel {\\Delta }{\\mathbf {e} }})=\\mathrm {Sp} (\\mathbf {l} )=\\mathrm {Sp} ({\\dot {\\mathbf {F} }}\\cdot \\mathbf {F} ^{-1})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=:&\\mathbf {F} ^{\\mathrm {T} -1}:{\\dot {\\mathbf {F} }}\\\\\\rightarrow {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} t}}\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )=&\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )\\mathbf {F} ^{\\mathrm {T} -1}:{\\dot {\\mathbf {F} }}=\\mathrm {det} (\\mathbf {F} )\\mathrm {Sp} ({\\stackrel {\\Delta }{\\mathbf {e} }})\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!\\!&=&0\\end{aligned}}}

die Zeitableitung der `F33f`_`[Determinante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Determinante]`_`f „det“ des `F33f`_`[Deformationsgradienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Deformationsgradient]`_`f F {\\displaystyle \\mathbf {F} } , siehe den Abschnitt „Ableitungen der Hauptinvarianten“ bei `F33f`_`[Hauptinvariante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptinvariante]`_`f. Die Determinante des Deformationsgradienten ist gleich der Volumendehnung, die in diesem Fall zeitlich konstant ist.

Dies bewirkt in der J2-Plastizität`:cite-ref-plast-4-1[`F5bf`_`[4`#cite-note-plast-4]`_`f], in der die Rate der plastischen Dehnungen deviatorisch ist und die plastischen Dehnungen vom Euler-Almansi-Typ sind, dass die plastischen Dehnungen volumenerhaltend sind, was mit `*plastischer Inkompressibilität`* bezeichnet wird.

>>Harmonie der Bilinearform

Die mit dem Ortsvektor r → → := ( x y z ) ⊤ ⊤ {\\displaystyle {\\vec {r}}:={\\begin{pmatrix}x&y&z\\end{pmatrix}}^{\\top }} und einem Deviator gebildete `F33f`_`[Bilinearform`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bilinearform]`_`f

f ( r → → ) := r → → ⋅ ⋅ T D ⋅ ⋅ r → → {\\displaystyle f({\\vec {r}}):={\\vec {r}}\\cdot \\mathbf {T} ^{\\mathrm {D} }\\cdot {\\vec {r}}}

ist eine `F33f`_`[harmonische Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Harmonische_Funktion]`_`f:

Δ Δ f = ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ x 2 + ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ y 2 + ∂ ∂ 2 f ∂ ∂ z 2 = 0 {\\displaystyle \\Delta f={\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial x^{2}}}+{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial y^{2}}}+{\\frac {\\partial ^{2}f}{\\partial z^{2}}}=0}

Denn nur die Diagonalglieder des Tensors gehen mit quadrierten Koeffizienten x, y oder z in f ein, weswegen der `F33f`_`[Laplace-Operator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Laplace-Operator]`_`f 𝚫 die Summe der Diagonalglieder liefert, die bei einem Deviator `F33f`_`[per definitionem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Per_definitionem]`_`f null ist. Dieser Sachverhalt lässt sich problemlos auf höher dimensionale Räume verallgemeinern.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Formelsammlung Tensoralgebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Tensoralgebra]`_`f

>>Fußnoten

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Greve (2003), S. 90 f, Altenbach (2012), S. 149.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Altenbach (2012), S. 273.

`:cite-note-frechet-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-frechet-3-0]`_`f Die `F33f`_`[Fréchet-Ableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Fréchet-Ableitung]`_`f einer skalaren Funktion f ( T ) {\\displaystyle f(\\mathbf {T} )} nach einem Tensor T {\\displaystyle \\mathbf {T} } ist der Tensor A {\\displaystyle \\mathbf {A} } für den – sofern er existiert – gilt: A : H = d d s f ( T + s H ) | s = 0 = lim s → → 0 f ( T + s H ) − − f ( T ) s ∀ ∀ H {\\displaystyle \\mathbf {A} :\\mathbf {H} =\\left.{\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} s}}f(\\mathbf {T} +s\\mathbf {H} )\\right|_{s=0}=\\lim _{s\\rightarrow 0}{\\frac {f(\\mathbf {T} +s\\mathbf {H} )-f(\\mathbf {T} )}{s}}\\quad \\forall \\;\\mathbf {H} } Darin ist s ∈ ∈ R {\\displaystyle s\\in \\mathbb {R} } und ":" das `F33f`_`[Frobenius-Skalarprodukt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frobenius-Skalarprodukt]`_`f. Dann wird auch ∂ ∂ f ∂ ∂ T = A {\\displaystyle {\\frac {\\partial f}{\\partial \\mathbf {T} }}=\\mathbf {A} } geschrieben.

`:cite-note-plast-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-plast-4-0]`_`f Die zweite Hauptinvariante des Spannungsdeviators wird häufig mit J2 bezeichnet: J 2 := I 2 ( σ σ D ) {\\displaystyle {\\mathrm {J} }_{2}:=\\mathrm {I} _{2}({\\boldsymbol {\\sigma }}^{\\rm {D}})} und ist wegen ∥ ∥ T D ∥ ∥ = − − 2 I 2 ( T D ) {\\displaystyle \\parallel \\mathbf {T} ^{\\rm {D}}\\parallel ={\\sqrt {-2\\mathrm {I} _{2}(\\mathbf {T} ^{\\rm {D}})}}} ein Maß für den `F33f`_`[Betrag`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Frobeniusnorm]`_`f des Spannungsdeviators.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Greve (2003), S. 164.

>>Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 36, 106, 119, 149.

• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 90 f., 98, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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